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  這裡談的是Swaps的評價與相關特性!!主要重點放在interst rate swaps, currency swap,Equity Swap與Swaption!!在interest rate swap中,不是fixed-to-fixed,float-to-fixed,fixed-to-float,就是float-to-float,而interest rate swap則是可以採用netting的方式去支付利息且到期不用進行名目本金(notional principal)的交換,因此相對上面所面對到的信用違約風險較小;而currency swap因交換的貨幣別不同,因此是沒有netting且期末必須繳交本金,因此需要面對較高的信用違約風險!!

  我們先談interest rate swap,因為這是後面currency swap計算的基石,也是目前金融市場上面最常交易的商品!!一般在interest rate swap中,固定利率與浮動利率支付的部分多採用360天/年,也有固定利率採用365天/年;在Equity swap中多採用365天/年的計算原則,而currency swap也是類似於interest rate swap的情況!!利率交換與匯率貨幣交換背後的經濟原則都是比較利益法則,因為當地企業發展較久,因此相當程度上面跟當地金融市場與相關金融機構的關係較為密切,因此借貸的資金成本也相對低廉,透過國際投資銀行的轉介紹,由各自當地企業借款,再透過國際投資銀行的引介與中介,來進行企業之間的利率與匯率交換業務,使得雙方的借貸成本都能降低!!值得注意的是這些金融商品或者是在降低企業的融資成本,或者是再調整企業自身資產與負債的管理(ALM),一般說來interest rate swap與equity swap在過往都是off-balance sheet的,當然目前隨著財報的改進,慢慢都會移往balance sheet當中!!很多事情都會慢慢改變,只要人們有心改變!!

  關於交易對手的信用風險的部分,因為interest rate swap與equity swap在期末都是不交換本金,因此越到期末反倒是越不需要面對信用風險,而在期初時,如果交易雙方發現需要面對很大的信用風險,那一開始這個swap就不會進行了,因此我們知道interest rate swap與equity swap所需要面對的風險在期中時(the middle of swap life)!!同樣地,因為currency swap是需要交換不同幣別計價的本金的,因此相對上面在到期日時,確實會面對到信用風險,其信用風險確實是集中於期中到期末這段時間上,因期末交換名目本金!!

 I. Interest rate swap (fixed-for-floating)

 今交換一個fixed-for-float 名目本金為$10 million interest rate swap,

 有下列資訊:

   L(.,.,.) 的表達為 L(起算日,到期日,從起算日到到期日的剩餘時間)

   L(0,90,90) = 0.0345

   L(0,180,180) = 0.0358

   L(0,270,270) = 0.0370

   L(0,360,360) = 0.0375

因此我們可以求算折現因子

   B(.)為B(起算日,到期日,從起算日到到期日的剩餘時間)

   B(0,90,90) = 1/[1 + 0.0345*(90/360)] = 0.9915

   B(0,180,180) = 1/[1 + 0.0358*(180/360)] = 0.9824

   B(0,270,270) = 1/[1 + 0.037*(270/360)] = 0.9730

    B(0,360,360) = 1/[1 + 0.0375*(360/360)] = 0.9639

 因此固定利率支付(the fixed rate payment)的部分

  FS(0,4,90)*[B(0,90,360) + B(0,180,180) +

    B(0,270,270) + B(0,360,360)] + 1* B(0,360,360) = 1

  其中 FS(起始日,一年幾期,每期多少天) 為上述表達

 所以

  FS(0,4,90)

   = [1 - B(0,360,360)]/[B(0,90,90) + B(0,180,180) + B(0,270,270) + B(0,360,360)] 

   =  0.00923 (Quarterly in this case)

 因此年化固定利率為 0.00923*(360/90) = 0.03692 (annual)

再者有下列資訊:從交換開始日之後已過60天,今知

  L(60,90,30) = 0.0425 

  L(60,180,120) = 0.0432

  L(60,270,210) = 0.0437

  L(60,360,300) = 0.0444

因此我們可以算起算日為60天的新折現因子

  B(60,90,30) = 1/[1 + 0.0425*(30/360)] = 0.9965

  B(60,180,120) = 1/[1 + 0.0432*(120/360)] = 0.9858

  B(60,270,210) = 1/[1 + 0.0437*(210/360)] = 0.9751

  B(60,360,300) = 1/[1 + 0.0444*(300/360)] = 0.9643

因為今天是計算從起始日經過60天之後(起算日=60天)的浮動利率

  FLR(60) = L(0,90,90)*(90/360)

          = 0.0345*(90/360)

          = 0.00863 (Quarterly in this case)

因為從起算日開始經過30天之後,其浮動利率將自動調整回到1.0,

所以我們知道在第90天時,其浮動利率的本利為1+FLR(60),

本例中為1 + 0.00863 = 1.00863....

今天我們求算的是在這個fixed-for-float interest rate swap中支付固定收取浮動的payer swap的價值,此為

 PV(float) - PV(fixed)

 = [(1 + FLR(60))*B(60,90,30)] -

     [FS(0,4,90)*(B(60,90,30) + B(60,180,120) +

       B(60,270,210) + B(60,300,360)) + 1.0*B(60,300,360)]

 = [1.00863*0.9965] -

     [0.00923*(0.9965 + 0.9858 + 0.9751 + 0.9654) + 1.0*0.9643]

 = 1.0051 - 1.0005

 = 0.0046

因此其損益為

  10,000,000 * 0.0046 = $ 46,000

II. Currency swap

  再過來談的是Currency Swap,我們用*代表另一個國家的貨幣,今名目本金(notional principal)為$1

  期初匯率為 *0.8/$1,經過60天之後匯率為 *0.85/$1,

 (1) 今原幣別$的固定與浮動借用上面interest rate swap例子

  PV($,float,60) = 1.0051

  PV($,fixed,60) = 1.0005

 (2) 先有一些基本資訊,

   L*(.,.,.) 的表達為 L*(起算日,到期日,從起算日到到期日的剩餘時間)

   L*(0,90,90) = 0.052

   L*(0,180,180) = 0.054

   L*(0,270,270) = 0.0555

   L*(0,360,360) = 0.0570

  我們可以求算折現因子

   B*(.)為B*(起算日,到期日,從起算日到到期日的剩餘時間)

   B*(0,90,90) = 1/[1 + 0.052*(90/360)] = 0.9872

   B*(0,180,180) = 1/[1 + 0.054*(180/360)] = 0.9737

   B*(0,270,270) = 1/[1 + 0.0555*(270/360)] = 0.9600

   B*(0,360,360) = 1/[1 + 0.057*(360/360)] = 0.9461

  固定利率支付(the fixed rate payment)的部分

   FS*(0,4,90)*[B*(0,90,360) + B*(0,180,180) +

     B*(0,270,270) + B*(0,360,360)] + 1 * B*(0,360,360) = 1

  其中 FS*(起始日,一年幾期,每期多少天) 為上述表達

  所以

  FS*(0,4,90)

  = [1 - B*(0,360,360)]/[B*(0,90,90) +

       B*(0,180,180) + B*(0,270,270) + B*(0,360,360)] 

  =  0.01394 (Quarterly in this case)

 因此年化固定利率為 0.01394*(360/90) = 0.05575 (annual)

 同樣地有下列資訊:從交換開始日之後已過60天,今知

  L*(60,90,30) = 0.06 

  L*(60,180,120) = 0.0615

  L*(60,270,210) = 0.0635

  L*(60,360,300) = 0.0653

因此我們可以算起算日為60天的新折現因子

  B*(60,90,30) = 1/[1 + 0.06*(30/360)] = 0.9950

  B*(60,180,120) = 1/[1 + 0.0615*(120/360)] = 0.9799

  B*(60,270,210) = 1/[1 + 0.0635*(210/360)] = 0.9643

  B*(60,360,300) = 1/[1 + 0.0653*(300/360)] = 0.9484

因為今天是計算從起始日經過60天之後(起算日=60天)的浮動利率

  FLR*(60)

  = L*(0,90,90)*(90/360)

  = 0.052*(90/360)

  = 0.013 (Quarterly in this case)

因為從起算日開始經過30天之後,其浮動利率債券(Floating Rate Note)將自動調整(reset)回到1.0,

所以我們知道在第90天時,其浮動利率的本利為1+FLR*(60),

本例中為1 + 0.013 = 1.013

 a. 期初固定利率部分貨幣*之價值,名目本金為 $1,其初匯率為 *0.8 = $1,為

 (PV(哪國貨幣,固定或浮動,起算日)為表達符號) 

 PV(*,fixed,0) 

 = [FS*(0,4,90) * (B*(60,90,30) + B*(60,180,120) +

       B*(60,270,210) + B*(60,300,360)) + 1.0 * B*(60,300,360)] * 1.25

 =  [0.01394*(0.9950 + 0.9799 + 0.9643 + 0.9484) + 1.0*0.9484] * 1.25

 = 1.00259 * 1.25

 = 1.25324 (貨幣單位為*)

 b. 期初浮動利率部分貨幣*之價值為

PV(*,float,0) 

 = [(1 + FLR*(60)) * B*(60,90,30)] * 1.25

 = [1.013*0.9950] * 1.25

 = 1.00794 * 1.25

 = 1.25993

 c. 第60天時,固定與浮動利率貨幣*的價值用$來表達為

 PV(*,fixed,60,$)

 = 1.25324 * 0.85

 = $ 1.06525

 PV(*,float,60,$)

 = 1.25993 * 0.85

 = $ 1.07094

 d.回顧一下,第60天,固定與浮動利率貨幣$的價值為

   PV($,fixed,60) = 1.0005

   PV($,float,60) = 1.0051

 (3)計算匯率交換:

 有fixed-for-fixed,fixed-for-float,float-for-fixed,float-for-float四種:

 Value(收取 * fixed,支付 $ float)

 = PV(*,fixed,60,$) - PV($,float,60)

 = 1.06525 - 1.0051

 = 0.06015  

 Value(收取 * float,支付 * fixed)

 = PV(*,float,60,$) - PV($,fixed,60)

 = 1.07094 - 1.0005

 = 0.07044

 Value(收取 * fixed,支付 $ fixed)

 = PV(*,fixed,60,$) - PV($,fixed,60)

 = 1.06525 - 1.0005

 = 0.06475

 Value(收取 * float,支付 $ float)

 = PV(*,float,60,$) - PV($,float,60)

 = 1.06525 - 1.0051

 = 0.06015

若今計算的名目本金(notional principal)為$ 10 million,就在將上述四個數值各別乘以$10,000,000,都是以貨幣$計算之!!

(小結)一般的匯率交換(currency swap)必須要注意國外貨幣一開始的匯率以及後來計算當天的匯率不同進行各自所在天數的轉換!!基本上面它的計算原理就是名目本金*[起算日算出來利率相對貨幣的現值]*[期初目標貨幣換成外幣的匯率]/[起算日時外幣換成目標貨幣的匯率]!!

III. Equity Swap

   採用Equity Swap的目標在於希望降低自身投資組合收益不穩定性的風險,因此採用支付所持有的投資組合的相對指數與收取固定比例利息收益的方式來處理,因此就構成了Equity Swap的可能;也可能因為在市場升息的壓力與氛圍之下,決定不只收固定而是收浮動利率,因此就變成是支付equity return與收取浮動利率這種equity swap;也或許想要將自身投資組合屬性做改變,以前是大型股投資(large-cap),現在想變成是混和大小型股投資(the blending of lar-cap and small-cap),但覺得買股的成本高,短期可以用支付大型股指數變化與收取小型股指數變化來處理!!上述三種,都是非常好的交換形態!!當然也可能是套利,因為短線上自身持有的投資組合已經價格過高,有下跌的可能性,因此介入equity swap,收取固定利息並賺取下跌價差!!

  我們來看一下如何進行Equity Swap,一般的Equity Swap有三種:Equity return-for-fixed rate,Equity return-for-floating rate以及Two equity returns swap!

  先提供下列資料作為計算用:名目本金:$10 million 

  Equity A: 原來第0天時指數為10,033,27,第90天時指數為9,955.14,

  Equity B: 原來第0天時指數為2,835.17,第90天時指數為2,842.44,

  L(0,180,180) = 7.2% (0.9653), L(0,360,360) = 8.0% (0.9259),

  L(90,180,90) = 7.1% (0.9826), L(90,270,180) = 7.4% (0.9474)

  Fixed rate: FS = (1 - 0.9259)/(0.9653 + 0.9259) = 0.03918

  Fixed rate paid: 0.03918 * (0.9826 + 0.9474) + 1.0 * 0.9474 = 1.02302

  Floating rate: FLR = 0.072*(180/360) = 0.036

  Floating rate paid: (1 + 0.036) * 0.9826 = 1.01797

 a.Equity return-for-fixed rate

  在第90天時,收取Equity A的指數報酬,支付 fixed rate

  (9955.14/10033.27) - 1.02302 = - 0.03081

  10,000,000 * (- 0.03081) = - 308,100

 b.Equity return-for-floating rate

  在第90天時,收取Equity A的指數報酬,支付 float rate

  (9955.14/10033.27) - 1.01797 = - 0.02576

  10,000,000 * (- 0.02576) = - 257,500

 c.Two equity returns swap

  在第90天時,收取Equity A的指數報酬,支付Equity B的指數報酬

  (9955.14/10033.27) - (2842.44/2835.17) = - 0.0104

  10,000,000 * (- 0.0104) = - 104,000

IV. Swaption

  Swaption相對於前面的各種Swaps是比較複雜的,因為他本身是一個選擇權,若是歐式,就是選擇到期時要不要進行interest rate swap,若是美式,則在契約簽訂之後契約到期日之前,都可以選擇要不要進行interest rate swap!!在這裡我們專門討論歐式的Swaption!!一般的Swaption有兩類:一類是 a payer swaption,當市場參與者持有payer swaption,就能在選擇權的到期日時,進入一個,支付固定利率與收取浮動利率,交換契約當中;另一類是 a receiver swaption,當市場參與者持有receriver swpation,就能在選擇權的到期日時,進入一個,支付浮動利率與收取固定利率,交換契約當中! 

  一般金融市場參與者持有Swaption的目標與理由為(a)在未來會有利率交換的需求,但擔心未來利率走升,希望透過payer swaption來固定自身需要支付的固定利率,並因為未來才參與Swap,因此其所收到的浮動利率,將隨著未來市場變化,而能有收取利息比目前直接進入利率交換契約來得高的可能!!(b)參與交易Swaption的市場參與者希望在不久的未來能夠有機會終止原來的利率交換契約,而其持有的Swaption所產生的現金流量,恰巧與原來的利率交換契約在浮動利率上面是相同的,而在固定利率上面是有一些spread的,如此才能規避掉市場中的利率風險!! (c)Swaption的參與這希望利用此一選擇權進行套利與投機的市場行為,而目標自然是利率(interest rate)!

  (i) the payoff of a payer swaption

  今天執行利率為x,FS(.,.,.)為underlying rate(通常為前面所提的固定或者浮動利率),而a payer swaption的現值為

    Max[0,FS(0,n,m) - x] * Sum(j = 1,2,....,n;所有的附息與本金所在時點的折現因子,B(0,Tj))

  因為我們已經知道

    FS(0,n,m) = [1 - B(0,Tn)]/Sum(j = 1,2,....,n;B(0,Tj))

  代入 a payer swaption的payoff之中,我們知道

    Max[0,[(1 - B(0,Tn))/Sum(j = 1,2,....,n;B(0,Tj))] - x] * Sum(j = 1,2,....,n;B(0,Tj))

  = Max[0, 1 - (B(0,Tn) + x * Sum(j = 1,2,..,n;B(0,Tj)))] (a payer swaption)

  而B(0,Tn) + x * Sum(j = 1,2,..,n;B(0,Tj))可視為到期本金為$1,每期利息為x的附息債券目前的市場價值,因此the payoff of a payer swaption可看成一個put option on the coupon x bond,其中執行價格為$1(par value),而這個swaption的執行利率為x(coupon)!!

  (ii) the payoff of a receiver swaption

   今天執行利率為x,FS(.,.,.)為underlying rate(通常為前面所提的固定或者浮動利率),而a receiver swaption的現值為

   Max[0,x - FS(0,n,m)] * Sum(j = 1,2,....,n;所有的附息與本金所在時點的折現因子,B(0,Tj))

  而FS(0,n,m) = [1 - B(0,Tn)]/Sum(j = 1,2,....,n;B(0,Tj)),代入上式知道

   the payoff = Max[0, (B(0,Tn) + x * Sum(j = 1,2,..,n;B(0,Tj))) - 1] (a receiver swaption)

  今B(0,Tn) + x * Sum(j = 1,2,..,n;B(0,Tj))可視為到期本金為$1,每期利息為x的附息債券目前的市場價值,因此the payoff of a receiver swaption可看成一個call option on the coupon x bond,其中執行價格為$1(par value),而這個swaption的執行利率為x(coupon)!!

 我們來看一個例子作結束....

  今exercise rate 為4%,已知名目本金為$10 million

   L(0,180,180) = 7.2% (0.9653)

   L(0,360,360) = 8%   (0.9259)

   FS = (1 - 0.9259)/(0.9653 + 0.9259) = 0.03918

   因此, a payer swaption為 $ 10 mil. * Max(0.03918 - 0.04) * (0.9653 + 09259) =  - 15,508

   而 a receiver swaption則為 $ 10 mil. * Max(0.04 - 0.03918) * (0.9653 + 09259) = 15,508