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  這裡要談常用的Time-series econometrics!!在常用的時間序列中我們常遇到AR(m)與MA(n),一般對於AR的檢定為PACF,對於MA的檢定為ACF!!ARMA一般就比較難去檢查,但是ARMA(1,n)是相對好檢驗的!!只是轉換成AR或MA的形式,再用PACF或ACF來進行檢驗也是一種方式!!(note that,AR:Auto-Regressive, MA:Moving-Average,PACF:Partial Auto-correlation Function,ACF:Auto-correlation function)

  名詞解釋自己參閱:Linear trend model (with time variable), log-linear trend model (by using log transform with time variable)

  下面我們會專門談AR model,MA model, ARCH, cointegration(共整合)等等......

  首先,我們先談Covaraince stationary:(a)時間數列的期望值為有限常數(idependent of time),(b)時間數列的變異數為有限常數(independent of time),(c)數列相關共變數(covariance)為有限常數(independent of time)!Covariance Stationary對於我們進行後面的統計推論與假設檢定有非常重要的影響,因為它會相當程度影響到估計與預測的準確性,以及假設檢定的可靠性!!(這裡的函數一般又稱為PACF)

 (1)AR(p): X(t) = A1 * X(t-1) + A2 * X(t-2) + .....+Ap * X(t-p) + ErrorTerm(t)

  當我們進行確認,辨識模型為AR(p)時,我們會對參數估計完之後的Residuals進行t檢定,範疇為1/[square-root(T)],其中T為時間數列的樣本總數!!只要我們確認殘差的絕對值在1/[square-root(T)],我們就能確認這是個好模型!!否則只能繼續多加入下一期變數!!資料配適得好不好,我們一般取決於Root MSE,原則是越小越好!!

  一般對於AR(1): X(t) = A0 + A1*X(t-1) + Errorterm(t)

  a. 若AR(1)今為Covariance stationary,我們知道 E[X(t)] = A0/[1 - A1]為長期平均值!! 因此我們必須確保A1數值並不會很接近1,因為一旦如此,將使得我們的AR(1)的長期平均值穩定度消失,變成無窮大的情況!!因此A1 < 1,使得這個AR(1)有mean-reversion的性質!!簡單的說就是,當資料比 A(0)/[1 - A(1)]來得大時,資料會有變小的傾向;同樣地,當資料比 A(0)/[1 - A(1)]來得小時,資料會有變大的傾向!!

  b. 在A1 = 1的特殊情況下,我們稱此為Random Walk series with a drift: X(t) = A0 + X(t-1) + ErrorTerm(t)....因此為求穩定存在,必須進行一次差分,對原始資料進行轉換,Y(t) = X(t) - X(t-1) = A(0) + ErrorTerm(t)!!檢測Random Walk的方法一般稱之為Dickey-Fuller單根檢定(Unit Root Test),其虛無假定為Ho:A1 = 1或g = (A1 - 1) = 0 versus Ha: g < 0(the time series is stationary has no unit root)!!

  c.季節性調整,若為月資料,可以加入X(t-1)....X(t-12)中任何一項以追求Residuals的stationary;若為季資料,則是考量X(t-1),...,X(t-4)任一項以追求covariace stationary!!

 (2)MA(q): X(t) = B1 * E(t-1) + B2 * E(t-2) + .....+Bq * E(t-q) + E(t)

  對於MA(q)的檢定,必須用另一個函數Autocorelation fuction!!(ACF)

 (3)ARCH(p)與GARCH(p,q)的部分只要知道,通常我們在財務資料中常發現大波動的情況通常伴隨著大波動的出現,而小波動則是跟隨著小波動的出現!!!其他的部分就請自行參閱相關書籍!!ARCH背後的想法是我們從實際資料發現the variance of the residuals in one time period is correlated with the variace of the residuals in another time period!!因此出現波動相關的情況,一般的修訂方式就是GLS!!而如何建構就請自行參閱論文與書籍!!

 (4)共整合(Cointegration)來自於一般迴歸式中 Y(t) = A0 + A1 * X(t) + ErrorTerm(t),我們發現不論X(t)還是Y(t)均有nonstationary unit root的情況,但當我們將兩者進行簡單線性迴歸時又發現Residuals是stationary!!因此計量學家就發現原來X(t)與Y(t)背後有一個共同的common stochastic trend or factor!!從此出發就開始談後面的兩個以上的cointergrating factors.....請自行參閱相關書籍!!